Alexander Schaichet wurde am 23. Juni 1887 in Nikolajew in der heutigen Ukraine geboren. 1903 besuchte er die Violinklasse von Alexander Fiedemann an der Musikhochschule in Odessa. 1906 wechselte er an das Königliche Konservatorium zu Leipzig. Diese Ausbildung schloss er 1911 ab und wurde im gleichen Jahr nach Jena berufen, wo er erster Konzertmeister der akademischen Konzerte und Vizedirigent des von Fritz Stein geleiteten Collegium Musicum wurde. In dieser Zeit spielte er im Jenaischen Streichquartett zusammen mit Joachim Bransky, Joachim Stutschewsky und Fritz Kramer. Regelmässig konzertierte er mit dem von Max Reger gegründeten Meininger Trio.

Auf einer Schweizer Ferienreise zusammen mit seinem Freund Joachim Stutschewsky wurde Alexander Schaichet im August 1914 vom Ausbruch des Ersten Weltkriegs überrascht und verblieb in der Folge zeitlebens in der Schweiz.

1919 heiratete er die ungarische Pianistin Irma Löwinger, welche 1917 mit einem Stipendium für ein Jahr nach Zürich kam, um bei Ferruccio Busoni zu studieren. Aus dieser Ehe gingen drei Kinder, Mirjam, Peter und Vera hervor. Nach zwei erfolglosen Versuchen erhielt Alexander Schaichet mit seiner Familie 1927 im dritten Anlauf das Schweizer Bürgerrecht.

Anfänglich verdiente sich Alexander Schaichet seinen Lebensunterhalt zusammen mit seinem Freund Joachim Stutschewsky als Kaffeehaus-Musiker. Sehr bald erteilte er jedoch auch privat Geigen- und Bratschenunterricht. 1917 gründete er ein Kinderstreichorchester und 1920 das erste Kammerorchester der Schweiz. Mit diesem Orchester wollte er Werke „zu Gehör bringen, die selten gehört, nie aufgeführt oder besonders wertvoll“ waren, wie er an der konstituierenden Versammlung erklärte. Alexander Schaichet war ein grosser Förderer der Schweizer Gegenwartsmusik. Häufig gab er auch mit seiner Ehefrau Irma Schaichet gemeinsame Konzerte. 1940 wurde er zum Leiter der Violinausbildungsklassen an die Musikakademie Zürich berufen, wo er das Akademieorchester gründete und leitete. Die Lehrtätigkeit an der Musikakademie übte Alexander Schaichet bis zu seinem Tod im Jahr 1964 aus und prägte als leidenschaftlicher Musikpädagoge eine Generation von Musikerinnen und Musikern.

1923 war Alexander Schaichet Gründungs- und Vorstandsmitglied der Internationalen Gesellschaft für Neue Musik IGNM. 1935 war er Mitgründer von Pro Musica, einer Vereingung zur Aufführung neuer und unbekannter alter Werke der Kammermusik. Von 1935 bis 1952 leitete Alexander Schaichet den Jüdischen Gesangsverein „Hasomir“ und ab der Gründung im Jahr 1936 auch den Jüdischen Damenchor Zürich. 1941 war er Gründungsmitglied und erster Präsident des Vereins Omanut zur Förderung jüdischer Kunst in der Schweiz. 1942 gab er das Präsidum aufgrund Arbeitsüberlastung ab. Zeitlebens blieb er für die Musik verantwortliches Vorstandsmitglied von Omanut und übernahm zwischendurch auch wieder das Präsidum.

1953 erhielt Alexander Schaichet zusammen mit dem Komponisten Arthur Honegger eine Ehrengabe der Stadt Zürich für hervorragende Förderung der schweizerischen musikalischen Jugend. 1962 überreichte ihm Stadtpräsident Emil Landolt die Hans Georg Naegeli-Medaille der Stadt Zürich als Dank und Anerkennung für seinen Beitrag zur Förderung des musikalischen Lebens in der Stadt Zürich.

Am 19. August 1964 verstarb Alexander Schaichet in seinem 78. Lebensjahr in Zürich. In seinem Nachruf hielt die NZZ fest, dass Alexander Schaichet manchem Schweizer Komponisten und vielen Schweizer Solisten den Weg zur öffentlichen Anerkennung geebnet habe und dass die Musikakademie Zürich ihren Ruf als musikalische Erziehungsinstitution nicht zuletzt auch dem hohen und weitreichenden Ansehen ihres prominenten Violinpädagogen Alexander Schaichet verdanke.